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Physiker versuchen, ihre Theorien durch den Vergleich von Simulationsmodellen mit realen Instrumenten zu bestätigen oder zu widerlegen. Hierbei kommt es auf ein möglichst exaktes Modell an.
Instrumentenbauer erhoffen sich Hinweise auf mögliche Änderungen ihrer realen Instrumente bezüglich Klang, Ansprache, Stimmgenauigkeit etc. zu erhalten.
Komponisten legen weniger Wert auf exakte Modellierung, viele wollen keine Klone realer Instrumente, sondern die Möglichkeit, auf einfache Weise neue Instrumente zu schaffen. Dies können auch Instrumente sein, die in der Realität existieren könnten und daher wichtige Klangeigenschaften akustischer Instrumente besitzen, aufgrund der außergewöhnlichen Maße jedoch nicht spielbar wären, oder die Musiker nicht so spielen könnten wie der Komponist es sich vorstellt. Darüber hinaus sind auch nichtphysikalische Instrumente, bei denen Teilkomponenten physikalisches Verhalten zeigen, von Interesse.
Der ausübende Musiker ist an flexiblen Instrumenten interessiert, die ihre Klangeigenschaften jederzeit stufenlos ändern können und sofort reagieren. Je nach Orientierung liegen bei ihnen die Schwerpunkte auf der Schaffung eigener, persönlicher Instrumente oder auf der personellen Rationalisierung von Ensembles unter Beibehaltung der instrumentalen Flexibilität.
Physiker wollen ihre Theorien über die Funktionsweise der Musikinstrumente überprüfen und müssen sich möglichst exakt existierenden Musikinstrumenten nähern, die benötigte Rechenzeit spielt hier keine große Rolle. Überprüft wird sowohl die mechanische Bewegung, als auch der Klangeindruck sowie der zeitliche Verlauf des Klangspektrums.
Musikinstrumentenbauer sind ebenfalls an exakten Modellen interessiert, legen den Schwerpunkt aber eher auf die Simulation realen Materials, das ungleichmäßig strukturiert ist. Für sie sind die Idealisierungen, die von den Physikern oft zur besseren Handhabung der benötigten Formeln verwendet werden, in der Regel nicht tragbar. Die Rechenzeit der Simulation spielt keine große Rolle, solange sie ein für den Menschen praktikabeles Limit nicht überschreitet.
Klangkomponisten, die im Studio u. U. monatelang an einer Komposition arbeiten, möchten schon eine Rechenzeit, die nicht wesentlich länger ist, als das produzierte Ergebnis, nehmen aber bei besseren Ergebnissen die Wartezeiten in Kauf.
Musiker, die live auf einem Instrument spielen, können nicht auf das Ergebnis warten, es ist sogar notwendig, daß Veränderungen am simulierten Modell innerhalb eines Zeitraumes von maximal zwanzig Millisekunden hörbar werden.
Ähnliche Ansprüche, vielleicht etwas abgemildert, werden auch an simulierte Umgebungen (Virtual Reality) gestellt, z.B. wenn dort vorhandene Körper nicht nur visuell, sondern auch akustisch auf äußere Einflüsse wirklichkeitsnah reagieren sollen.
Bei Verwendung einer geeigneten Modellierung ist auch die Produktion von künstlich erzeugten Filmen denkbar, in denen die visuelle und akustische Darstellung von einem physikalischen Modell abgeleitet ist. Im Gegensatz zu VR-Umgebungen spielt die Rechenzeit eine untergeordnete Rolle. Hohe Rechenzeiten werden, insbesondere bei gut parallelisierbaren Verfahren, zugunsten einer größeren Realitätsnähe in Kauf genommen.
Viele unserer Musikinstrumente haben mindestens eine nichtlineare Komponente. Da nur lineare Komponenten analytisch gut handhabbar sind und die im folgenden vorgestellten Modellierungsverfahren in der einfachen Form nur lineare Elemente modellieren können, ist es erforderlich diese Modelle mit nichtlinearen Elementen wie nichtlinearen Federn oder nichtlinearen Interaktionselementen zu ergänzen. Dies erweitert die Palette der simulierbaren Instrumente und ermöglicht eine präzisere Modellierung, jedoch auf Kosten der analytischen Beschreibung des Gesamtinstruments.
Die wichtigsten Modellierungsverfahren sind Masse-Feder-Modelle, Modale Synthese und Waveguides. Darüber hinaus gibt es gemischte Modelle, die Elemente aus verschiedenen Modellierungsverfahren verwenden, beispielsweise die Modellierung eines Klarinettenrohrblatts mittels Masse-Feder-Modell und nichtlinearem Interaktionselement und die Modellierung von Rohr und Trichter mittels Waveguide. Darüber hinaus gibt es eine physikalisch orientierte Klangmodellierung (Physically informed sonic modeling), die komplexe Bewegungen einzelner voneinander abhängiger Massen nicht einzeln, sondern durch deren statistisches Verhalten modelliert. Ein Beispiel für ein solches statistisches Modell sind Perry Cooks Maracas [53].
Masse-Feder-Modelle sind am aufwendigsten in der Berechnung, jedoch leicht zu entwerfen, da sie sich unmittelbar am physikalischen Aufbau orientieren. Diese Modellierungsmethode ist jedoch für Blasinstrumente weniger geeignet, da die Luft innerhalb und außerhalb des Instruments durch Masseteilchen und Interaktion mit der jeweiligen Umgebung eines solchen Masseteilchens modelliert werden müßte, die auch näherungsweise durch eine Abstraktion mit Interaktionsfunktionen ersetzt werden könnte.
Modale Synthese abstrahiert die im Material möglichen Schwingungsmodi und betrachtet nicht mehr die physikalische Beschaffenheit der Vorlage. Die Lösung der notwendigen Differentialgleichungen ist nur für einfache Körper möglich, komplexe Körper können mit gewissen Beschränkungen mittels Modalanalyse ausgemessen und analysiert werden. Da sich hiermit nur Körper realisieren lassen, die einmal durch einen Stoß angeregt ohne gegenseitigen Einfluß der Schwingungsmodi ausschwingen, wird das Modell durch Elemente ergänzt, die Interaktionen zwischen Körpern und durch externe Beeinflussung ermöglichen. Mittels nichtlinearer Interaktionselemente, die beispielsweise das Verhältnis zwischen Bogen-/Saitengeschwindigkeit und Saitenhaftung beschreiben, können auch kontinuierlich angeregte Instrumente simuliert werden.
Waveguides modellieren die Fortpflanzung von Wellen in einem Medium. Im Falle eines idealen homogenen Mediums werden die Wellen lediglich mit einem Zeitversatz, in ihrer Form jedoch unverändert, übertragen. Verluste durch Dämpfung und Abstrahlung werden durch Filter modelliert. Diese Art der Modellierung ist wegen ihres geringen Rechenaufwandes, insbesondere bei eindimensionalen Medien (Rohr, Saite), sehr populär. Bei mehrdimensionalen Modellen nimmt der Aufwand jedoch stark zu und nähert sich dem Aufwand bei Masse-Feder-Modellen. Problematisch ist auch, daß man einem Waveguidemodell nicht ohne weiteres ansehen kann, welche physikalischen Parameter modelliert wurden und welche nicht (Idealisierung und Abstraktion).
Da sich schwingende Körper gewöhnlich kontinuierlich über einen Raum ausbreiten, im Masse-Feder-Modell jedoch nur endlich viele Massen und Feder-Dämpfer-Kombinationen darstellt werden können, ist es notwendig, die Masse des schwingenden Körpers in verschiedene punktförmige Massen, welche die Gesamtmasse des zugeordneten räumlichen Bereichs haben, aufzuteilen. Gleiches gilt natürlich auch für die auf diesen Bereichen wirkenden Feder- und Dämpfungskräfte, die in einer einzigen Feder-Dämpfungs-Kombination zusammengefaßt werden. Es handelt sich also um eine räumliche Diskretisierung (Abb. 1). Bei der Verwendung von linearen Federn und Dämpfern lassen sich ohne zusätzliche Elemente nur lineare Systeme modellieren, d.h. es lassen sich nur Körper modellieren, deren Verformung gering ist und die aus einem deformierten Anfangszustand heraus ausschwingen.
Abb. 1: Diskretisierung von Massen und Federn
Mittels einer Ergänzung durch spezielle Federn, die zwischen zwei Massen erst ab einem minimalen Abstand wirksam werden, können auch Objekte modelliert werden, die durch Anschlagen mit einem Hammer zur Vibration angeregt werden. Weitere Ergänzungen durch andere nichtlineare Interaktionsfunktionen ermöglichen auch Modelle, die eine Anregung in der Form eines Bogenstrichs realisieren. Da die Interaktion zwischen Bogen und einer punktförmigen Masse erfolgt, hängt es von der topologischen Verbindungsstruktur der Massen ab, ob es sich hierbei um eine angeregte Saite, Membran oder etwas anderes handelt. In dieser Form sind Masse-Feder-Modelle im GENESIS-Programm des CORDIS-ANIMA-Systems, das im Institut ACROE in Frankreich entwickelt wurde, für eindimensionale Bewegungen implementiert [11-15].
Durch allgemeine nichtlineare Kennlinien in Federn und Dämpfern lassen sich auch stärkere und extreme Auslenkungen, sowie nichtlineare Dämpfungen wie z.B. Haftreibung, realisieren. Diese Kennlinien müssten aber aufwendig mathematisch errechnet werden (zu aufwendig für die Echtzeitberechnung), mit reduziertem Aufwand durch einfache Polynome näherungsweise berechnet werden (Signalprozessoren) oder durch Interpolation von Stützwerten in einer diskreten Funktionstabelle näherungsweise berechnet werden (universelle Prozessoren mit ausreichend viel Arbeitsspeicher). Gegebenenfalls kann für den Fall, daß Nichtlinearitäten nur bei großen Auslenkungen auftreten, im linearen Bereich die einfache Berechnung erfolgen. Da große Auslenkungen in der Regel nur für begrenzte Zeit nach Beginn einer impulsförmigen Anregung vorkommen, dürfte sich der Zusatzaufwand für einen Ton nur gering bemerkbar machen. Bei kontinuierlicher Anregung wie z.B. beim Bogenstrich bleiben bei starker Anregung diese Auslenkungen jedoch erhalten, was in solchen Fällen die Berechnungszeit deutlich erhöht.
Bei extremer Auslenkung von Federn bleiben in der Realität Verformungen des Materials zurück. Diese Verformungen könnten durch Änderungen der Federlänge im Ruhezustand und ggf. durch Änderungen der Federkonstante modelliert werden. Der notwendige Aufwand wäre kaum höher als für die Berechnung allgemeiner nichtlinearer Funktionen. Hiermit ließen sich dann auch bewegungsabhängige Abnutzungseffekte, wie sie sich z.B. bei längerem Spielen in Resonanzböden von Musikinstrumenten ergeben, nachbilden.
Abb. 2: Bewegungsrichtungen und Federkräfte bei einem ein-, zwei- und dreidimensionalen Modell einer Saite
Realistische Modelle erfordern natürlich auch Mehrdimensionalität. Durch zwei- oder dreidimensionale Bewegungen erhöht sich der Aufwand, insbesondere bei der Verwendung nichtlinearer Federn oder Dämpfer durch die ständige Berechnung von Quadratwurzeln, Divisionen und Quadraten, erheblich (Abb 2). In der Praxis werden solche mehrdimensionalen Modelle daher nur recht selten verwendet.
Die Steifheit des Materials kann im Falle mehrdimensionaler Modelle durch Nachbildung der räumlichen Ausdehnung der Vorlage in der Verbindungsstruktur der Massen und Interaktionselemente realisiert werden . Im dreidimensionalen Fall wird bei der Saite der Querschnitt durch konzentrische Ringe und einen zentralen Stern gebildet, orthogonal dazu werden viele derartige Scheiben miteinander verbunden und die Enden fixiert. Eine einfachere Version betrachtet eine Scheibe, die nur aus einem Kreis besteht (Abb. 3). Bei zweidimensionalen Modellen werden die Scheiben durch einfache Stäbe ersetzt. Für den Fall der eindimensionalen Modelle können zusätzliche Federn zwischen zwei Massen eingefügt werden, die jeweils eine Masse in der topologischen Form überspringen und so die Eigenschaften einer Masse auch von der mittelbaren Nachbarschaft abhängig macht.
Abb. 3: Ein einfaches dreidimensionales Modell einer steifen Saite
Bislang noch nicht berücksichtigt wurde der elastische Stoß zwischen zwei Massen. Im eindimensionalen Fall kann man ohne ihn transversale Schwingungen bei geringen Auslenkungen realistisch modellieren, nicht aber longitudinale Schwingungen. Durch eine globale Vernetzung aller Massen mit nichtlinearen Interaktionselementen, die dann mit der materialspezifischen Feder- und Dämpfungskraft wirken, wenn sich zwei Massen mindestens so nahe stehen, daß die der punktförmigen Massen zugeordneten Teile der Vorlage sich berühren würden, könnte auch der elastische Stoß realisiert werden. Eine Veränderung der räumlichen Ausdehnung der punktförmigen Masse, z.B. bei der Oszillation des zugeordneten Bereichs der Vorlage durch Elastizität, würde jedoch nicht erfaßt werden. Da der Rechenaufwand mit der Anzahl der Massen exponentiell steigen würde, ist diese Art der Modellierung aber nicht praktikabel.
Nachteile des Masse-Feder-Modells sind, daß die Zerlegung eines realen Vorbilds in wenige punktuelle Massen wegen der vernetzten Struktur nicht immer offensichtlich ist, insbesondere aber daß man dem Modell mit den zugehörigen Parametern nicht ansehen kann, welche Frequenzen erzeugt werden. Eine Umrechnung ist, selbst für lineare Modelle, wegen des hohen mathematischen Aufwands praktisch kaum möglich. Der klare Vorteil ist jedoch, daß man Modell und Vorlage von ihrem strukturellen Aufbau her sehr gut vergleichen kann. Dies gilt in gleicher Weise für die Simulation der Bewegung jedes Masseteilchens des Modells und entsprechende Messungen bei realen Instrumenten.
Abb. 4: Schwingungsmodi eines Stabes und deren Anregung
Die physische Gestalt des Vorbilds läßt sich nicht mehr aus dem Modell erkennen, da es verschiedene Körper repräsentiert, deren Schwingungsverhalten gleich ist. Die analytische Berechnung der Resonanzfrequenzen und Dämpfungen ist nur für sehr einfache Körper möglich, z.B. für eine ideale Saite, einen Stab, rechtwinklige und kreisförmige Membranen und Platten. Komplexere Körper können entweder durch Verbindungselemente zwischen bestimmten Punkten schwingender Körper hergestellt werden (z.B. der Steg, der Saite und Resonanzboden verbindet) [20, 23, 22, 19], durch das Kreuzprodukt oder L-Produkt bekannter Körper [24] oder durch Modalanalyse an realen Körpern.
Modalanalyse ist ein Verfahren, das experimentell die modalen Parameter bestimmt. Hierzu wird an einem Punkt des zu messenden Objekts ein Impulsgeber angebracht und an einem anderen Punkt die Impulsantwort aufgezeichnet. Solange Anregungs- und Abtastpunkt nicht auf oder sehr nahe an der Knotenlinie eines Modus liegen, werden alle Modi erregt und abgetastet. Zur Sicherheit wechselt man den Anregungs- und Meßpunkt einige Male um alle Modi zu erfassen. Diese Meßwerte werden dann in einem mehr oder weniger aufwendigen mathematischen Verfahren in die modalen Parameter umgewandelt. Durch Meßfehler oder -störungen können die Ergebnisse der mathematischen Umformung jedoch so stark verfälscht werden, daß es notwendig ist, die berechneten modalen Parameter vieler verschiedener Messungen zu vergleichen, um die relevanten Parameter zu ermitteln. Im Falle der experimentellen Ermittlung der modalen Parameter hat man jedoch nur die Eigenfrequenzen des Objekts ermittelt, jedoch nicht den Einfluß des Ortes von Erregung und Meßpunkt auf die Amplituden der Modi. Diese können nur für jeweils die entsprechende Kombination einer Messung angegeben werden, da sowohl Anregungspunkt wie auch Meßpunkt die Energie ortsabhängig in spezifischen Anteilen auf die Modi verteilen bzw. von den Modi erhalten.
Eine Realisation modaler Synthese wurde von Jean-Marie Adrien im französischen Forschungsinstiut IRCAM unter dem Namen Mosaic entwickelt [19, 20]. Der Name des Programms wurde jedoch später in Modalys geändert, da die Gefahr bestand mit dem bekannten Browser für das World Wide Web verwechselt zu werden.
Abb. 5: Die unabhängige Überlagerung der Modi in einem schwingenden Stab
Vorteile dieses Verfahrens sind die geringere Rechenlast als beim Masse-Feder-Modell aufgrund geringerer Anzahl von Interaktionsfunktionen und Massen, sowie die musikalisch orientierte Angabe von Frequenzen. Die Nachteile sind eine von der Physik stärker abstrahierte Beschreibung der Schwingungsvorgänge, die eine graphische Darstellung des gesamten schwingenden Körpers nicht oder nur bei Einsatz vieler Messpunkte und hohem Aufwand ermöglicht. Ein weiterer wichtiger Nachteil ist, daß sich nur unveränderliche Körper mit linearem Verhalten darstellen lassen, da diese Methode die Linearität des Körpers voraussetzt und bei Veränderung des linearen Körpers die Neubestimmung der Modi durch den hohen Rechenaufwand nachteiliger ist, als die Verwendung des Masse-Feder-Modells. Für die Abdeckung von Instrumenten mit nichtlinearen Charakteristika (z.B. Blas- und Streichinstrumente, Sitar etc.) ist die Ergänzung des Modells mit nichtlinearen Interaktionsfuntionen erforderlich.
Waveguides bestehen aus Verzögerungselementen und (digitalen) Filtern. Im ungedämpften Fall bewegt sich die Welle in einem eindimensionalen Medium je zur Hälfte nach links und nach rechts und wird am Ende des Mediums reflektiert. Die Art der Reflektion, phasengleich oder gegenphasig, ist davon abhängig, ob die Begrenzung des Mediums freischwingend oder fixiert ist. Bei festen Körpern erzeugen freischwingende Begrenzungen eine gleichphasige Reflektion, während fixierte Begrenzungen gegenphasige Reflektionen erzeugen. Im Fall der Luftsäule erzeugt eine offenes Ende eine gegenphasige, eine geschlossenes Ende eine gleichphasige Reflektion.
Auf jedem Schritt durch das Medium wirken geringe Dämpfungen, die der Dämpfung der Vorlage an diesem Ort entsprechen. Solange man sich nur für wenige Punkte des Mediums interessiert, kann man die Dämpfungen und Verzögerungsschritte zwischen diesen Punkten zusammenfassen, so daß im Extremfall nur eine Verzögerungskette und ein Filter pro Medium erforderlich ist (Abb. 5). Dieses Verfahren ist für eine geringe Zahl von Interaktions- und Meßstellen sehr effizient, da pro Interaktions- bzw. Meßstelle nur eine Verzögerung und ein Filter erforderlich sind.
Abb. 6: Zusammenfassen der Zeitverzögerungen und Dämpfungen beim Waveguidemodell
Der Rechenaufwand pro Verzögerungsleitung, die mit einem Ringpuffer realisiert wird, beschränkt sich auf zwei Modulooperationen (Rest einer ganzzahligen Division), zwei Inkrementoperationen (x <- x + 1) und einer indizierten Lese- und Schreiboperation (Abb. 7).
Abb. 7: Ringpuffer für eine Verzögerung von n Samples
Die digitalen Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter, Abb. 8) werden durch n Skalierungsoperationen (Multiplikation mit einer Konstanten) und n Additionen realisiert, wobei n die Anzahl der verwendeten Samplingschritte im digitalen Filter ist. Üblicherweise liegt n bei vier, bei 2 für einfache Näherungen.
Abb.8: Digitaler FIR-Filter n-ter Ordnung
Diese, bis auf die Dämpfung ungestörte Wellenfortpflanzung gibt es jedoch nur bei homogenen Medien, also bei zylindrischen und konischen Luftsäulen, sowie bei Fellen und Platten mit homogener Dichte und Dicke. Da die zeitliche Länge der Verzögerungsleitung einer Fortpflanzung der Welle über die örtliche Länge des realen Mediums entspricht, gemessen an der materialspezifischen Schallgeschwindigkeit, und Hin- und Rückweg die tiefste Frequenz bestimmt, läßt sich die gewünschte Grundfrequenz leicht einrichten. Problematisch wird es jedoch bei der digitalen Simulation, wenn die Grundfrequenz nicht ein ganzzahliger Teiler der Samplingfrequenz ist, da dann eine Interpolation zwischen zwei Samplingschritten notwendig wird. Einfache lineare Interpolation ist fehlerbehaftet und wirkt sich insbesondere bei kurzen Verzögerungen sehr negativ auf die Präzision der Tonhöhe aus. Andere Verfahren sind genauer, besitzen aber noch immer gewisse Nachteile [31]. Auf jeden Fall ist der Dämpfungsfilter in seiner Stärke einer Längenänderung des Mediums anzupassen. Ebenso gilt es die Dispersion, d.h. die zeitliche Streuung eines Signal bei seinem Transport durch das Medium, in der Regel längenabhängig zu modellieren.
Dispersion, eine zeitliche bzw. örtliche Streuung der Welle, entsteht bei Saiteninstrumenten durch die Saitensteifheit, bei Blasinstrumenten bei einer nichtkonischen/nichtzylindrischen Röhre wie z.B. einem Schalltricher. Da die Dispersion eine frequenzabhängige Phasenverschiebung ist und der digitale Filter sowohl Dämpfung als auch Phasenverschiebung realisiert, ist bei Instrumenten, bei denen Dämpfung und Dispersion nicht gekoppelt sind (z.B. bei der Posaune, deren Schalltrichter ja eine feste Dispersion und Dämpfung hat), ein separater Filter für das Rohr und für den Schalltrichter erforderlich. Gegebenenfalls modelliert man den Dämpfungsfilter mit möglichst linearem Phasengang und realisiert die Dispersion mit phasenverschiebenden Allpass-Filtern.
Modellierungsverfahren für konische Medien [41, 42] sowie für Schalltrichter [44, 45] wurden in den letzten Jahren vorgestellt, ebenso die Modellierung von Dispersion in Saiten, Platten [49] und nichtkonischen Röhren [46]. Sowohl zwei- [32] als auch dreidimensionale Körper [33] können modelliert werden. Im Falle einer regelmäßigen Dichte des Körpers werden Dämpfung und Dispersion zusammengefaßt an den Rändern des modellierten Körpers berechnet. Ein anschlagender Hammer muß in diesem Fall allerdings in die entsprechenden Richtungen ein für die zurückzulegende Strecke partiell gefiltertes Anregungssignal in das Waveguide-Netz injizieren, um die Veränderung auf dem partiellen Weg von der Anschlagstelle bis zum Rand zu berücksichtigen [48]. Es gilt wie auch in allen anderen Fällen, daß Unterbrechungen in der Kontinuität des Körpers die Berechnung verlängern. Dies kommt daher, da im Falle der ungestörten Fortpflanzung der Welle die Dämpfungs- und Dispersionseffekte an einer Stelle zusammengefaßt werden können. Bei Unregelmäßigkeiten erfolgt jedoch eine Teilreflektion der Welle, deren Dämpfungs- und Dispersionseffekte in die Reflektion mit einbezogen werden müssen.
Prominente Vertreter des Waveguideverfahrens sind das Institut CCRMA an der Stanford University, die wichtigsten Vertreter dort sind Julius O. Smith III [http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/] und Perry Cook [http://www.cs.princeton.edu/~prc/], der inzwischen zur Princton University gewechselt hat, sowie das Akustiklabor an der Helsinki University of Technology [http://www.hut.fi/HUT/Acoustics/], vertreten durch Matti Karjalainen, Vesa Välimäki und anderen.
Der Hauptvorteil des Waveguide-Verfahrens ist die effiziente Berechenbarkeit im Fall homogener Medien. Für feste Resonanzkörper mit linearem Verhalten kann aufgrund der Kommutativität linearer Funktionen die Anregungsfunktion in einer mit dem Filter des Resonanzkastens vorbehandelten Tabelle gespeichert werden [48]. Eine zusätzliche Berechnung für den Resonanzkasten fällt dann nicht mehr an. Ein weiterer Vorteil ist die zumindest näherungsweise leicht zu bestimmende Frequenz des Grundmodus eines einfachen Körpers. Der Hauptvorteil ist allerdings auch ein Nachteil, bei häufigen Dichteschwankungen des Mediums, wie sie in realen Körpern zumindest in kleinem Maße immer vorhanden sind, wird das Verfahren etwa genauso aufwendig wie das Masse-Feder-Modell, ohne jedoch deren physikalische Anschaulichkeit zu besitzen. Es besteht aufgrund der Verwendung analytischer Formeln beim Laien leicht die Gefahr, zu vergessen bestimmte Eigenschaften der simulierten Körper auch zu modellieren. Man geht gern "Pi mal Daumen" vor, um schnell zu einem Instument zu gelangen oder nimmt grobe Näherungen wegen der effizienteren Berechenbarkeit in Kauf. Häufig wird zwar ein Signalflußmodell entwickelt, die Parameter und Konstanten aber nicht mit Einheiten versehen, so daß man sich mehr oder minder experimentell dem gewünschten Klang nähert.
Interaktionsfunktionen können sehr verschiedene Aufgaben haben. In Masse-Feder-Modellen werden mit ihnen die Interaktion zwischen den Massen mittels Feder-Dämpfer-Kombinationen realisiert. Dies können insbesondere auch nichtlineare Kombinationen sein, welche beispielsweise den in der Vorlage physikalisch eingenommenen Raum der punktförmigen Masse beschreiben, nichtlineare Federn, die sich bei extremen Auslenkungen nicht mehr linear verhalten oder auch einfache Hämmer, deren Feder-Dämpfer-Kombination erst bei einer Mindestannäherung zu einer verbundenen Masse des schwingenden Körpers wirksam wird. Diese Interaktionsfunktionen können nicht nur orts- sondern auch geschwindigkeitsabhängig sein, so daß auch die Interaktion zwischen Bogen und Saite modelliert werden kann. Interaktion findet auch zwischen zwei Teilen eines Modells statt, deren Eigenschaften verschieden sind, so z.B. bei einer abrupten Änderung des Durchmessers einer Luftsäule, hevorgerufen durch Unebenheiten beim Zusammenstecken zweier Teilstücke eines realen Instruments oder durch Änderungen in der Dicke oder Dichte des Mediums. In diesen Fällen wird durch die Interaktionsfunktion die partielle Kopplung der beiden Medien hergestellt. Diese Kopplung kann beispielsweise auch zwischen Saite und Steg, zwischen Steg und Resonanzkörper oder mittelbar zwischen zwei Saiten, die sich auf dem gleichen Steg befinden, stattfinden.
Die Modellierung der partiellen Verzögerung des festen Samplingintervalls durch lineare Interpolation in Waveguides birgt praktische Probleme, da die hierzu notwendigen Filter in einigen Fällen eine höhere Dämpfung besitzen als es für das Modell erforderlich ist. Die Modellierung mit Allpass-Filtern erzeugt aufgrund ihrer rekursiven Struktur bei perkussiver Anregung unerwünschte Echos in der Mikrozeit. Lagrange-Interpolation erzeugt unregelmäßige Verzerrungen im hohen Frequenzbereich. Alle Verfahren besitzen einen nichtlinearen Phasengang, der zu Veränderungen der Modiverhältnisse führt. Eine gute Lösung ist mittels bandbeschränkter Interpolation möglich, die jedoch auch wesentlich aufwendiger zu berechnen ist [31].
Die Verbindung zweier konischer Bohrungen, die an der gemeinsamen Übergangsstelle den weiten Teil ihrer Bohrung haben, bilden eine resonierende Kammer, deren digitale Simulation instabil sein kann [31].
Nichtlinearitäten sind für die Modellierung vieler Musikinstrumente notwendig, erzeugen jedoch auch Aliasing. Je höher die Ordung des Polynoms ist, das der Nichtlinearität näherungsweise entspricht, desto extremer das Aliasing. Die Bandbreite des so erzeugten Signals liegt beim (Polynomordnung-1)-fachen der Ursprungsbandbreite [31].
Turbulenzen werden bislang nicht korrekt modelliert, sondern durch Hinzufügen von synchron gepulstem weißem Rauschen angenähert. In wieweit das tatsächliche Spektrum von Turbulenzen den Klangcharakter oder die Spielfähigkeit des Instruments prägt, ist noch nicht bekannt [31].
Auch die Steuerung physikalischer Modelle kann schwierig werden, da einige Parameter nicht gemessen oder nicht ausreichend präzise mit den derzeitigen Standards übermittelt werden. Besonders die Trennung zwischen realem Spieler und simuliertem Modell ist schwierig, da z.B. die Resonanz der Mundhöhle des Spielers nicht ausgeschaltet werden kann, für die Simulation aber mit in Betracht gezogen werden muß. Man kann sich also durchaus die Frage stellen, ob für simulierte Instrumente nicht auch simulierte Spieler und Hörer benötigt werden, und eine reale Hörerschaft dann auch nur einen möglicherweise nicht repräsentativen, ausschnitthaften Zugang zum simulierten Instrument hat. Auf jeden Fall sind für den Spieler des Instruments Rückmeldungen aus der Simulation notwendig, um die individuellen physikalischen Eigenschaften des Spielers in das Modell zu integrieren und eine natürliche Reaktion des Spieler auf taktile Rückmeldungen vom Instrument zu ermöglichen.
Bei Masse-Feder-Modellen kann es in extremen Fällen vorkommen, daß man mehr von der Rechenungenauigkeit der Simulation hört, als von der Simulation selbst. Es ist kaum genau zu bestimmen wann dieser Fall eintritt. Einer gewisse Erfahrung und das Wissen über die Implementierung können hilfreich sein, um den Punkt zu bestimmen, eine automatische Warnung kann aber nicht erzeugt werden.
Nicht zuletzt sollte man an die Probleme denken, die sich durch Fehlinterpretation von Verfahren und Funktionsweisen oder durch implizte Modellierung bei der Verwendung abstrakter Modelle ergeben können. Insbesondere im Falle abstrakter mathematischer Beschreibungen ist es möglich, aufgrund eines Fehlers ein Modell zu erhalten, welches selbst in der idealisierten physikalischen Welt kein Gegenstück hat. Gern wird auch einfach etwas vergessen oder ein grob kalkulierter Fehler nimmt unerwartet hohe Ausmaße an, die das Modell unbrauchbar machen. Da die abstrakte Beschreibung meist nicht leicht durchschaubar ist, fällt dies nach der Errechnung der analytischen Beschreibung gar nicht mehr auf.
Trotz dieser grundsätzlichen Probleme ist es möglich, eine Vielzahl musikalischer Instrumente realitätsnah zu simulieren. Für die Interessentengruppen, die nach "neuen" Klänge suchen, spielen die Probleme in der Regel eine untergeordnete Rolle. Die meisten Eigenschaften physikalischer Schwingungsprozesse werden annehmbar simuliert, so daß die Natürlichkeit der Klangverläufe bzw. die adäquate Reaktion des Instruments auf das Spiel gegeben ist.
Abb. 9: Die (einfache) Clari-saune
Korrekterweise muß hier angemerkt werden, daß es sich hierbei eigentlich um eine Spielpfeife eines Dudelsackes mit einfachem Rohrblatt handelt, bei dem die Tonhöhe mit Hilfe einer Längenänderung der Röhre, in der Art eines Posaunenzuges, verändert wird. Das Rohrblatt wird also nicht mit den Lippen gehalten, sondern befindet sich in einer Windkapsel, die mit Luft gespeist wird. Außerdem ist noch zu erwähnen, daß es bei diesem Instrument keine Griff- oder Registerlöcher gibt. Der Name "DudelSaune" hätte jedoch einen etwas merkwürdigen Beigeschmack, außerdem soll ja gerade gezeigt werden, welche Mängel in derartigen einfachen Modellen stecken. Das Modell der ClariSaune entspricht überigens dem von Pierre Dutilleux in [25] angegebenen Klarinettenmodell.
Das Modell ist in vier Bereiche unterteilt, die Mundhöhle, das Rohrblatt, die Luftsäule im Rohr und den Schalltrichter bzw. das offene Ende der Luftsäule. Das Instrument hat ein einfaches Rohrblatt, ähnlich dem einer Klarinette, eine variable Länge der Luftsäule und einen festen Schalltrichter, jedoch keine Griff- oder Registerlöcher.
Die Mundhöhle ist nur über den auf das Rohrblatt wirkenden Druck modelliert. Es fehlt die Modellierung des Resonanzraumes der Mundhöhle, der entweder Teil des Simulationsmodells oder aber über eine Sensor-Aktor-Verbindung mit dem Simulationsmodell gekoppelt sein kann.
Das Rohrblatt wird mit Hilfe einer Zuordnungsfunktion in Form einer Funktionstabelle realisiert. Für die Anwendung in digitalen Signalprozessoren wird diese Tabelle durch ein möglichst einfaches Polynom erstetzt, welches dieser Funktion möglichst nahe kommt. Diese Funktion wurde von Physikern durch Messungen an reflektionsgedämmten Instrumenten vorgenommen und ordnet dem auf das Rohblatt wirkenden Differenzdruck von Mundhöhlen- und Rohrinnendruck die Menge der einfließenden (oder ggf. ausfließenden) Luft zu. Dies gilt selbstverständlich nur für den statischen Fall. Für das dynamisch bewegte Rohrblatt wirkt aber auch die Eigenmasse des Rohrblatts und die damit verbundene gespeicherte Energie zusätzlich auf die Bewegung des Rohrblattes ein. Im Falle des vollständigen Schließens des Rohrblattes gibt es leichte Abweichungen von der skizzierten Funktion, so daß das Blatt sich hin und wieder etwas früher oder später schließt. Im Fall der ClariSaune handelt es sich um ein idealisiertes masseloses Rohrblatt. Was einem beim ersten Betrachten vielleicht gar nicht auffällt, ist, daß das Rohrblatt der ClariSaune nicht, wie bei der Klarinette üblich, mit den Lippen gehalten und kontrolliert wird. Eine Modellierung des Lippendrucks kann aber durch einen verringerten Abstand des Blattes, also einer Anpassung der Druck-Fluß-Funktion und einer Erhöhung der Bewegungsdämpfung und der Masse des Blattes erreicht werden. Im vorliegenden Fall handelt es sich somit eher um eine Zungenpfeife der Orgel oder um eine Klarinette mit großer Windkapsel (Dudelsack) bzw. um ein vollständig im Mund des Spielers befindliches idealisiertes Klarinettenmundstück als um die traditionelle Spielweise des klassischen Instruments.
Das Rohr des Instruments besteht aus zwei Waveguides, jeweils einen für den Hin- und Rückweg. Da keine Filter für die Verluste im Rohr vorhanden sind, muß von einer idealen Luftsäule und einem idealen Rohr ausgegangen werden, in dem keine Viskositäts- oder Reibungsverluste entstehen und daher der Druckimpuls in voller Stärke das andere Ende des Rohres erreicht. Da auch die Impulsform unverändert bleibt, werden auch keine Dispersionseffekte modelliert, was im vorliegenden Fall eines zylindrischen Rohrs auch korrekt ist. Im realen Fall müßten hier die Luftdämpfung und Reibungsverluste an der rauhen Wand des Rohres berücksichtigt werden.
Der Schalltrichter, im vorliegenden Fall einfach das Ende des zylindrischen Rohres, wird durch zwei Filter und eine gegenphasige Reflektion modelliert. Die Gegenphasigkeit ist korrekt, da am offenen Ende des Rohres ein geringer Druck herrscht, der sich aus der Auslöschung der Druckimpulse auf dem Hinweg und der phasenverkehrten Überlagerung mit dem Duckimpuls auf dem Rückweg ergibt. Die Filter sind nur als Tief- bzw. Hochpaß modelliert, genaue Angaben über den Phasengang, der für die Bestimmung der Eigenresonanzen der Rohr-Schalltrichter-Kombination wesentlich ist, wurden jedoch nicht gemacht. Je nach Realisierung der Filter und dem sich daraus ergebenden Phasengang werden jedoch völlig verschiedene Rohrabschlüsse modelliert. Das Modell ist hier unpräzise. Abhängig vom Rohrdurchmesser verändert sich die Grenzfrequenz für Hoch- und Tiefpaßfilter. Eigenschaften des Rohrs finden sich also inkonsequenterweise im Modell des Schalltrichters wieder. Die Modellierung mit einem Tiefpaßfilter für die innere Reflektion und einen Hochpaßfilter für die äußere Abstrahlung ist zwar prinzipiell richtig, realistische Reflektionen mit annähernd korrektem Phasengang sind aber mit Filtern niedriger Ordnung kaum möglich. Hier könnten Impulsantwortmessungen an realen Instrumenten helfen, das offene Ende des Rohrs realistisch zu simulieren.
Die im Modell angegebenen Multiplikationen mit -1 werden selbstverständlich nicht wirklich mittels Multiplikation realisiert, sondern mittles Negation. Die verwendete Notation dient nur zur leichtern Verständlichkeit.
Durch Untersuchungen an realen Musikinstrumenten hat man chaotische Strukturen z.B. bei Turbulenzen in der Klangerzeugung entdeckt [54-57]. Diese Erkenntnisse wären in realistische Modelle einzuarbeiten [63]. Von physikalischen Modellen ausgehend kann man auch Teile des physikalisch strukturierten Systems gegen nicht-physikalisch modellierte Teile, wie eben auch chaotische Abbildungsfuntionen austauschen und dennoch ein Modell erhalten, welches gewisse physikalische Eigenschaften auch weiterhin enthält [60, 58, 59, 61, 62].
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